5 1. Fejezet Gauss és a szabályos sokszögek 6 1. ábra. Vezessük be a komplex számok trigonometrikus alakját, leginkább mi ezzel fogunk dolgozni. Tekintsük az 1. 1) ábránkat. Ha a z = a + bi nem nulla szám hossza r, és szöge α, akkor nyilván a = r cos α és b = r sin α, vagyis z = r cos α + ir sin α = rcos α + i sin α). Végül n-edik egységgyöknek nevezzük az 1 szám n-edik gyökeit. Ezek a cos 2kπ 2kπ n + i sin n számok, ahol k Z. Összesen n darab n-edik egységgyök van. [2] 6 1. Fejezet Gauss és a szabályos sokszögek 7 1. Szabályos n-szög Először is szeretnénk komplex számokkal kifejezni a Descartes-féle koordináta rendszerrel ellátott sík pontjait. Tehát az a, b) pont itt a z = a + bi lesz. Vegyük fel ζ-t az egységnyi sugarú körünk egy pontjaként, az ábrán látható módon. Legyen θ az origóból a ζ-ba húzott egyenes és az x tengely által bezárt irányszög. Ekkor tudjuk, hogy a trigonometrikus alak mivel egységnyi sugarú körben dolgozunk, ezért r = 1): ζ = cos θ + i sin θ. Legyen θ = 2πk n, ahol n és k egész számok.
A lépcsők tervezésében nincs semmi nehéz. A lényeg az, hogy kövesse a képleteket és megállapított szabályokat, helyesen számítja ki általában a szerkezet szélességét és hosszát, valamint a lábak számát és a dőlésszöget. Egy jól megtervezett és jól felszerelt lépcsőház hosszú évekig szolgálja Önt. Betöltés...
Emlékeztetésképpen írok néhány sort a komplex számokról, trigonometrikus alakjukról, a síkon való ábrázolásukról valamint a komplex számokkal való műveletekről. A Gauss-féle bizonyítást Robin Hartshorne, Geometry: Euclid and Beyond című könyvében ismertem meg, mely nagy segítséget nyújtott annak megértéséhez. E könyv alapján fogom bemutatni Gauss módszerét. Miután megvizsgálom a szabályos n- szögeket, szeretnék tisztázni néhány eljárást bizonyos távolságok megszerkesztésére. Tárgyalom két távolság összegét, különbségét, szorzatát, egy távolság egész számmal való osztását illetve az egységszakasz ismeretében a a megszerkesztését. Utána megmutatom egy egyszerűbb példán, a szabályos 5-szögön a módszert annak érdekében, hogy következő fejezetünk érthetőbbé váljon. Ezek után a második fejezetben már a szabályos 17-szögre bizonyítom be, hogy megszerkeszthető. Itt is az előbbiekben használt módszert fogom alkalmazni. A harmadik utolsó) fejezetben mutatni fogok egy tényleges szerkesztést. Ennek lépéseit a könyv alapján fogom vázolni, majd bebizonyítom, hogy ezeket elvégezve valóban egy szabályos 17-szöget fogok kapni.
Szerkesszünk -os, -os, -os, -os és -os szögeket! 9. 12. gyakorlat. Szerkesszük meg egy pont, egy egyenes és egy kör adott tengelyre vonatkozó tükörképet; adott vektorral vett eltoltját; adott pont körüli, adott szöggel való elforgatottját! 9. 13. feladat. Szerkesszünk szabályos ötszöget! Tekintsük meg a szabályos ötszög szerkesztéséről készült videót a youtube-on! Megjegyzés. A szabályos ötszög belső szögei -osak, ennek és a fentiek segítségével szerkeszthető minden egész számú többszöröse. (Hogyan? ) Mély matematikai eszközökkel kimutatható, hogy más egész fokos szögek nem szerkeszthetőek körzővel és vonalzóval.
De mi van akkor, ha a ház már megépült, és egy idő után sürgősen lépcsőt kellett építeni, és nincs mód szakember bevonására a számításokba? Ebben az esetben azt a szöget, amelyben a létrának el kell haladnia, önállóan, a vonatkozó szabályozási dokumentáció segítségével határozzák meg. Hogyan tegyük kényelmessé és biztonságossá a lépcsőt? A lépcsők biztonsága és kényelme közvetlenül függ a dőlésszögétől. Ez az érték a lépcső magasságának és lépcsőjének szélességének (az emelkedő függőleges része, amelyen az emberi láb támaszkodik) szélessége arányaként számítható. Kísérletileg megállapították, hogy egy felnőtt ember vízszintes síkban haladó lépcsőjének szélessége 60-63 cm tartományban van, ez az érték csökken, ha valaki felfelé halad. Tehát lépésének hossza szigorúan függőleges síkban 31, 5 cm. Ebben az esetben az ember felemelkedéskor a maximális erőfeszítést teszi egy lépés megtételére, és kényelmetlenséget tapasztal. A lépcsők kialakítását kidolgozó tapasztalt tervező feladata, hogy megtudja, milyen emelkedési szögben a második emeletre felmászva minimális kényelmetlenséget tapasztal, minimális erőfeszítést tesz, de ugyanakkor mozog.
Minél meredekebb a tető, annál kisebb az átfedés. Ez vonatkozik a palara is. A tető felszerelésekor ne feledkezzünk meg az alatta lévő tér szellőztetéséről. A ferde tetőket vízelvezető rendszerrel is fel kell szerelni. Így arra a következtetésre juthatunk, hogy a tető szöge nagyon fontos mutató. Nem csak a munka minősége múlik rajta, hanem magának a tetőnek az élettartama is. A lényeg az érték helyes kiszámítása, a kívánt tetőszerkezet, a jó minőségű tetőfedő anyag és egy jó csapat kiválasztása. És persze mindez nem igényel nagy költségvetést. Sok sikert az építkezéshez! Projektek vidéki házak meg kell felelnie minden tulajdonos számos követelményének, kívánságának, sőt szeszélyének. De a legtöbb esetben egyetlen jellemző egyesíti őket - egyetlen épület sem nélkülözheti megbízható tetőt. Ebben az esetben nemcsak az épület építészeti koncepciója kerül előtérbe, hanem a tető dőlésszögének mutatójára vonatkozó konkrét követelmények is. A tető tervezési jellemzői Tetőszerkezet tervezés- ez egy meglehetősen nehéz folyamat, amely nagy felelősséget igényel a tulajdonostól, különösen ez vonatkozik az épületek összetett konfigurációjára.